Fondamenti della meccanica atomica
Nel caso di coefficienti reali, queste non sono altro che le relazioni caratteristiche che intercedono, in geometria analitica, tra i coefficienti
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che sono gli autovalori cercati.
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Gli autovalori sono dunque
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e quindi, se non sono entrambe nulle c1 e c2, dovrà essere
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dove Pe Q sono serie di potenze intere e positive di .
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dove sono definite dalla (82) e dalle altre due analoghe.
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Dunque: gli autovalori della (183') sono tutti i numeri dispari positivi.
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Sono questi dunque i livelli energetici dell'oscillatore.
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per , cioè che le funzioni sono ortogonali tra loro.
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Queste funzioni si chiamano «funzioni associate di Legendre» esse sono, naturalmente, ortogonali nell'intervallo (— l, + 1), ma non sono normalizzate
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In particolare, se le coordinate q sono le ordinarie coordinate cartesiane x, y, z di un punto, i corrispondenti momenti sono le componenti
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dove le sono altre f costanti arbitrarie.
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quindi i momenti coniugati a r, sono rispettivamente
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dove sono tre numeri interi, non negativi.
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Ora possiamo scrivere le tre condizioni di Sommerfeld, che sono
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(dove R e sono due funzioni di cui qui non interessa l'espressione: basta ritenere che sono reali e sono normalizzate secondo le formule (244) e (252
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dove con e si sono indicati i coefficienti
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dove è la frequenza del moto di rotazione e le sono delle costanti: le somme contengono tanti termini quante sono le cariche. Alle prime due
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dove c è una costante ed f una funzione qualunque. Per esempio, tra gli operatori citati sopra, sono lineari gli operatori , mentre non sono lineari
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Esempi. Due fattori numerici (costanti o no) sono sempre operatori permutabili, perchè . Così pure sono permutabili — di regola — gli o. l. , il cui
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esprimenti che le sono ortogonali e normalizzate.
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Dimostriamo ora che, se e sono o. l. hermitiani, sono tali anche i due o. l.
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Gli autovalori di un o. l. hermitiano sono (come si dimostrerà,
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Si osservi che se l'operatore è hermitiano tale è anche la matrice, il che per una matrice diagonale significa che i suoi elementi sono reali. Dunque
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Una matrice, come questa, in cui tutti gli elementi sono nulli tranne quelli sulla diagonale principale (elementi diagonali) dicesi matrice diagonale
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Dunque: gli autovalori dell'operatore x sono tutti i numeri reali x', e ad ognuno di essi corrisponde un asse individuato dalla funzione (75). Tali
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Ora, avendo già riconosciuto che gli operatori corrispondenti alle coordinate sono le stesse, e quelli corrispondenti ai momenti sono , possiamo
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dell'impulso , sono osservabili incompatibili: difatti i loro operatori sono rispettivamente, come si è visto,
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Invece una e una sono evidentemente permutabili, cioè
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come pure sono evidentemente permutabili due o due
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autovalori sono, come si è visto, con . Perciò i valori che può assumere l'osservabile M, momento dell'impulso, sono dati da
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Difatti le equazioni di Hamilton che se ne ricavano sono
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da cui si vede che gli elementi sono tutti nulli, tranne al più quelli i cui indici j, k sono tali che
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Così sono completamente determinate le matrici e .
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le quali sono lineari e omogenee in e . Poichè queste non sono entrambe nulle, dovrà essere
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dove i momenti pk sono dati da (v. § 31):
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Tenendo presente che le matrici sono permutabili con i simboli di derivazione, ma non sono da ritenersi, in generale, permutabili tra loro, otteniamo
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da cui si vede che le sono ordinariamente piccole rispetto alle (ossia, sono piccole rispetto a ). Sostituendo nella (277) questa espressione di si
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Si noti anzitutto che queste matrici sono hermitiane, e quindi le osservabili che rappresentano sono reali (1)La particolare scelta adottata per le
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dove i coefficienti sono vincolati dalle relazioni
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Si tenga poi presente che questi coefficienti sono reali, salvo quelli che contengono l'indice 4 una volta sola, che sono immaginari puri (essendo
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(dove le a sono costanti, e F+, G+ sono due funzioni di r, per ora indeterminate) e si sostituiscono nelle (334), basta poi imporre alle costanti a
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dove e ua sono funzioni delle coordinate, ma non di t, ed E, e Ea sono dati da (378) e (378'). Sostituendo in (382), e ponendo
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e gli elementi della matrice di perturbazione sono dati da
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Fissati ed , vi sono per ed , le seguenti quattro possibilità:
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e le sue radici sono:
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dove sono gli operatori corrispondenti alle componenti dello spin del primo elettrone (formati a norma del § 45) e sono quelli del secondo
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posizionali sia antisimmetrica se gli spin sono paralleli, e sia simmetrica se sono antiparalleli: nel primo caso si ha un livello triplo (che il
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Ciò non significa che i termini dell'ortoelio siano tutti tripli, ma che essi sono tripli ad eccezione dei termini S che sono sempre semplici (si
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Questi risultati sperimentali sono in eccellente accordo con la teoria esposta nei §§ precedenti: gli atomi del parelio sono quelli a spin
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Accademia della crusca
